Mathématiques fortes

Objectifs généraux

L’enseignement des mathématiques permet à l’élève d’acquérir un outil intellectuel sans lequel, malgré des dons d’intuition ou d’invention, il ne progresserait pas dans la connaissance scientifique au-delà de certains seuils.

Cet outil, comme science de la quantité, du modèle et de la structure déductive est particulièrement adapté pour traiter les concepts abstraits de toutes sortes que l’on trouve dans les sciences exactes ou expérimentales et dans certaines sciences humaines et sociales. L’enseignement doit montrer que les mathématiques ne sont pas qu’un langage à l’aide duquel une question scientifique peut être posée et résolue, mais est un vaste corps de méthodes, de raisonnements et de structures dont le langage est précis et rigoureux.

Le monde des mathématiques, riche, abstrait et structuré, est un champ de connaissances que l’homme, depuis l’Antiquité, cherche à élargir et compléter par une recherche et une remise en cause continues. L’enseignement doit faciliter l’approche des mathématiques et donner à l’élève l’envie et le goût de s’y intéresser.

Objectifs par période

Période I (années 1 et 2)

Conaissances

L’élève connaît les principaux objets et méthodes mathématiques :

• En arithmétique : les règles du calcul avec leurs conventions d’écriture;
• En algèbre : le calcul littéral, les équations et les inéquations;
• En géométrie : la géométrie élémentaire et la géométrie vectorielle.

Aptitudes

L’élève est capable

• De faire preuve d’aisance dans l’utilisation de ses connaissances mathématiques;
• De maîtriser les règles, les principes et les contraintes du raisonnement logique;
• D’imaginer des situations géométriques;
• De formuler des propositions d’une manière claire et précise;
• D’accepter l’effort, de faire preuve de persévérance, d’être imaginatif, curieux et ouvert.

Période II (années 3 et 4)

Connaissances

L’élève connaît

Les principaux objets et méthodes mathématiques :

• En géométrie : la géométrie analytique et la trigonométrie;
• En analyse : les fonctions, le calcul différentiel et intégral;
• En stochastique : la statistique et le calcul des probabilités;
• Certains aspects de l’histoire des mathématiques.

Aptitudes

L’élève est capable

• D’appliquer des méthodes mathématiques connues à des problèmes posés dans divers domaines;
• D’utiliser des méthodes de travail et d’investigation;
• De porter un jugement critique sur les résultats obtenus dans le cadre d’une modélisation;
• D’organiser ses connaissances mathématiques de manière à faciliter la recherche d’analogies;
• D’exposer et de discuter la démarche de travail adoptée;
• De faire preuve de rigueur, de manifester un esprit d’analyse et de synthèse.

Programme par année

Année 1

ALGÈBRE

Vocabulaire mathématique: proposition, implication, réciproque, équivalence, contraposition, théorèmes et axiomes ; quelques méthodes de démonstration ; les quantificateurs.

Les ensembles: ensemble, sous-ensemble et complémentaire d’une partie ; opérations sur les parties d’un ensemble.

L’ensemble des nombres réels: bonne technique de calcul dans ; calculs de puissances dans ; propriétés des inégalités dans ; calculs avec des racines ; notation scientifique.

Les polynômes: monômes, polynômes ; identités remarquables ; réduire et factoriser des polynômes ; additionner, soustraire, multiplier et diviser des polynômes ; amplifier et simplifier des fractions algébriques ; calculs avec des fractions algébriques.

Les équations du 1^er degré: résoudre des équations du 1er degré ; discuter une équation paramétrique ; résoudre des problèmes du 1er degré à une inconnue.

Systèmes d’équations du 1^er degré: résoudre et discuter des systèmes de deux équations à deux inconnues ; systèmes de n équations à n inconnues (n 4) ; résoudre des problèmes du 1^er degré à plusieurs inconnues.

Inéquations à une inconnue : résoudre une inéquation du 1^er degré à une inconnue ; signe du binôme; systèmes d’inéquations à une inconnue ; résoudre et discuter une inéquation paramétrique.

GÉOMÉTRIE

Notions de base: notions fondamentales et axiomes de base de la géométrie ; propriétés des triangles ; droites perpendiculaires ; droites parallèles.

Les figures: les quadrilatères ; les droites remarquables du triangle ; le cercle.

Les triangles semblables: le théorème de Thalès ; les cas de similitude des triangles ; les propriétés des triangles semblables ; relations métriques dans le triangle rectangle.

Année 2

Relations: relations d’ordre et d’équivalence, fonctions et applications, opérations.

Trinôme du 2^e degré: racines du trinôme, signe du trinôme, inéquations du 2^e degré.

Fonctions réelles: ensemble de définition, représentation graphique, parité, croissance et décroissance, maximum et minimum, réciproque d’une fonction, fonctions élémentaires.

Suites arithmétiques et géométriques. Racines et puissances d’un nombre réel: exposants rationnels, expressions algébriques irrationnelles.

Calculs avec les exponentielles et les logarithmes: approche de ces fonctions, règles de calcul, applications.

Trigonométrie dans le triangle: relations trigonométriques dans le triangle rectangle, théorèmes du sinus et du cosinus, résolution de triangles.

Fonctions trigonométriques: le cercle trigonométrique, les fonctions trigonométriques et leurs propriétés, périodicité, équations trigonométriques.

Transformations du plan: isométries, homothéties, similitudes.

Plan vectoriel: vecteurs du plan, addition et multiplication par un réel, combinaison linéaire, bases.

Plan affine: repère du plan et coordonnées d’un point, équations d’une droite, droites parallèles.

Année 3

Plan euclidien: repère orthonormé, vecteurs orthogonaux, produit scalaire, angles.

Géométrie analytique plane: droites perpendiculaires, distance d’un point à une droite, bissectrices de deux droites, cercle, tangentes à un cercle, lieux géométriques et coniques.

Suites réelles: convergence et limite d’une suite.

Limite et continuité: propriétés et applications, limites infinies, limites à l’infini, asymptotes.

Dérivée d’une fonction: définition et propriétés, règles de dérivation.

Applications des dérivées: calcul de limites, croissance et concavité, étude de fonctions algébriques et trigonométriques, problèmes d’optimisation.

Analyse combinatoire: arrangements, permutations, combinaisons, binôme de Newton.

Année 4 et 5

Géométrie vectorielle de l’espace: vecteurs, opérations sur les vecteurs, combinaisons linéaires, bases.

Espace affine: repère de l’espace et coordonnées d’un point, équations d’une droite, équations d’un plan, positions relatives de deux droites, de deux plans, d’une droite et d’un plan.

Espace euclidien: repère orthonormé, vecteurs orthogonaux, produit scalaire, produit vectoriel.

Géométrie analytique de l’espace: équation cartésienne d’un plan, orthogonalité, distances, angles, sphères.

Espace vectoriel réel: définitions et propriétés, exemples, sous-espaces vectoriels, bases et dimension, systèmes linéaires.

Application linéaire: définitions et propriétés, matrice associée à une application linéaire, déterminant d’une matrice carrée, changement de bases, diagonalisation d’une matrice carrée.

Intégrales: primitives, intégrale définie, méthodes d’intégration, intégrales impropres.
Applications de l’intégrale: aires, volumes, longueur d’un arc de courbe.

Fonctions remarquables: fonctions exponentielles, logarithmiques et hyperboliques.

Courbes définies par leurs équations paramétriques.

Équations différentielles simples.

Nombres complexes: formes algébrique, trigonométrique et exponentielle, fonctions complexes d’une variable complexe et transformations géométriques associées.

Séries: convergence d’une série, série de Taylor.

Éléments de statistiques: fréquence, moyenne, variance, classes, histogramme.

Probabilités: expérience aléatoire, calculs de probabilités, variables aléatoires.